发布于2025年4月16日;最后更新于2025年4月17日
完整论文涵盖了e的诸多性质,包括历史背景以及与现有教学方法的比较:中文版PDF(鸣谢中文翻译:刘芮阳, 赵奕恺, 孙玉涛,李梓凡)和英文原版arXiv PDF。视频讲解将很快在此发布。
本网页节选了论文中使用预备微积分语言解释e为何「自然」的部分, 同时直观地连接了以下两个重要性质:
- 曲线y=ex在点(x,ex)处的切线斜率恰好就是ex。(用微积分术语:ex是其自身的导数。)
- 当n趋近无穷时,表达式(1+n1)n趋近于e。
关键概念起点
从几何的角度来看,指数函数曲线其实只有一种形状,因为所有的指数函数曲线y=ax(其中底数a为正实数)都只是彼此在水平方向上的拉伸变换的结果。这就正如所有的椭圆,其实也都只是彼此的拉伸变换是一样的(而且这也是因为相同的预备微积分理由)。
例如,曲线y=8x沿水平方向以6倍比例拉伸,就得到y=8x/6=(2)x。

从几何角度看,由于拉伸是一个连续过程,在这些水平方向拉伸后的指数曲线中,恰好有一条曲线在其y轴截距处的切线具有特别优美且自然的斜率1。
我们定义e为对应于该曲线的唯一正实数底数。

现在我们来寻找一个指数曲线在y轴处切线斜率为1的数。为此,我们取曲线y=3x并估算需要多大的水平拉伸倍数。首先,我们必须估算曲线y=3x在其y轴截距A(0,30)处的切线斜率。但如何估算呢?这需要微积分吗?不!代数就足够了!
考虑曲线上一个非常接近的点:B(h,3h),其中h很小但不为零。直线AB的斜率为h−03h−30使用h=0.0001来近似切线斜率:0.0001−030.0001−1≈1.09867因此,按≈1.09867的倍数进行水平拉伸将使切线斜率≈1。所以3x/1.09867=(31/1.09867)x的切线斜率≈1。
因此,31/1.09867≈2.71814接近e。这个结果相当不错,因为实际上e≈2.718281828459045。
各处都有美妙的切线斜率
同样的方法可以推导出曲线y=ex在任意点P(x,ex)处的切线斜率。考虑曲线上一个非常接近的点:Q(x+h,ex+h),其中h很小但不为零。直线PQ的斜率为(x+h)−xex+h−ex=ex⋅(h−0eh−e0).
括号内的表达式是通过(0,e0)和(h,eh)两点的直线斜率,因此当h趋于零时,括号内的值变成曲线y=ex在y轴截距处的切线斜率。根据我们对e的定义,这个值奇迹般地化简为1。(这正是我们构建该定义的原因。)
因此,点P(x,ex)处的切线斜率就是ex。
用微积分术语重新表述:ex是其自身的导数。这可能是e最重要的性质,因为所有源于e的微积分定理都可以从这个事实推导出来。
复利极限
预备微积分通常会用不同的方式定义e,即连续复利产生的表达式(1+n1)n的极限。为了调和这两种方法,我们现在用视觉方法证明(1+n1)n趋近于我们所定义的同一个数。
由于logbx是bx对于任意底数b的反函数,使用我们的底数e得到(1+n1)n=(eloge(1+n1))n=enloge(1+n1)我们使用底数b=e(而不是比如说10),因为现在我们只需要证明指数部分当n增大时趋近于1。该表达式可以重新整理为斜率计算!nloge(1+n1)=n1loge(1+n1)
=(1+n1)−(1)loge(1+n1)−loge(1)这正是曲线y=logex上点(1,0)与另一个非常接近的点之间直线的斜率。当n增大时,这趋近于(1,0)处切线的斜率。我们只需证明该斜率为1(这也是一个自然的目标),就完成了证明。
为此,由于logex是ex的反函数,它们的图像关于直线y=x对称。

以下两条直线的斜率都是1:
- 根据e的定义,通过(0,1)的y=ex的切线;以及
- 直线y=x。
因此,它们平行,形成了这样美妙的反射:

因此,曲线y=logex在(1,0)处的切线斜率确实为1,证明完毕!