可爱的证明,自然而然的ee

发布于2025年4月16日;最后更新于2025年4月17日

完整论文涵盖了ee的诸多性质,包括历史背景以及与现有教学方法的比较:中文版PDF(鸣谢中文翻译:刘芮阳, 赵奕恺, 孙玉涛,李梓凡)和英文原版arXiv PDF。视频讲解将很快在此发布。

本网页节选了论文中使用预备微积分语言解释ee为何「自然」的部分, 同时直观地连接了以下两个重要性质:

  • 曲线y=exy = e^x在点(x,ex)(x, e^x)处的切线斜率恰好就是exe^x。(用微积分术语:exe^x是其自身的导数。)
  • nn趋近无穷时,表达式(1+1n)n\big(1 + \frac 1n \big)^n趋近于ee

关键概念起点

从几何的角度来看,指数函数曲线其实只有一种形状,因为所有的指数函数曲线y=axy = a^x(其中底数aa为正实数)都只是彼此在水平方向上的拉伸变换的结果。这就正如所有的椭圆,其实也都只是彼此的拉伸变换是一样的(而且这也是因为相同的预备微积分理由)。

例如,曲线y=8xy = 8^x沿水平方向以66倍比例拉伸,就得到y=8x/6=(2)xy = 8^{x/6} = (\sqrt{2})^x

所有指数函数都是彼此的拉伸变换

从几何角度看,由于拉伸是一个连续过程,在这些水平方向拉伸后的指数曲线中,恰好有一条曲线在其yy轴截距处的切线具有特别优美且自然的斜率11

我们定义e\boldsymbol e为对应于该曲线的唯一正实数底数。

e的定义

简易ee近似

现在我们来寻找一个指数曲线在yy轴处切线斜率为11的数。为此,我们取曲线y=3xy = 3^x并估算需要多大的水平拉伸倍数。首先,我们必须估算曲线y=3xy = 3^x在其yy轴截距A(0,30)A(0, 3^0)处的切线斜率。但如何估算呢?这需要微积分吗?不!代数就足够了!

考虑曲线上一个非常接近的点:B(h,3h)B(h, 3^h),其中hh很小但不为零。直线ABAB的斜率为3h30h0 \frac{3^h - 3^0}{h - 0} 使用h=0.0001h = 0.0001来近似切线斜率:30.000110.000101.09867 \frac{3^{0.0001} - 1}{0.0001 - 0} \approx 1.09867 因此,按1.09867\approx 1.09867的倍数进行水平拉伸将使切线斜率1\approx 1。所以3x/1.09867=(31/1.09867)x3^{x/1.09867} = (3^{1/1.09867})^x的切线斜率1\approx 1

因此,31/1.098672.718143^{1/1.09867} \approx 2.71814接近ee。这个结果相当不错,因为实际上e2.718281828459045e \approx 2.718281828459045

各处都有美妙的切线斜率

同样的方法可以推导出曲线y=exy = e^x在任意点P(x,ex)P(x, e^x)处的切线斜率。考虑曲线上一个非常接近的点:Q(x+h,ex+h)Q(x+h, e^{x+h}),其中hh很小但不为零。直线PQPQ的斜率为ex+hex(x+h)x=ex(ehe0h0). \frac{e^{x+h} - e^x}{(x+h) - x} = e^x \cdot \left( \frac{e^h - e^0}{h - 0} \right).

括号内的表达式是通过(0,e0)(0, e^0)(h,eh)(h, e^h)两点的直线斜率,因此当hh趋于零时,括号内的值变成曲线y=exy = e^xyy轴截距处的切线斜率。根据我们对ee的定义,这个值奇迹般地化简为11。(这正是我们构建该定义的原因。)

因此,点P(x,ex)P(x, e^x)处的切线斜率就是exe^x

用微积分术语重新表述:exe^x是其自身的导数。这可能是ee最重要的性质,因为所有源于ee的微积分定理都可以从这个事实推导出来。

复利极限

预备微积分通常会用不同的方式定义ee,即连续复利产生的表达式(1+1n)n\big(1 + \frac 1 n \big)^n的极限。为了调和这两种方法,我们现在用视觉方法证明(1+1n)n\big(1 + \frac 1 n \big)^n趋近于我们所定义的同一个数。

由于logbx\log_b xbxb^x对于任意底数bb的反函数,使用我们的底数ee得到(1+1n)n=(eloge(1+1n))n=enloge(1+1n)\begin{align*} \left(1 + \frac 1 n\right)^n &= \left(e^{\log_e \left(1 + \frac 1 n\right)}\right)^n \\ &= e^{n \log_e \left(1 + \frac 1 n\right)} \end{align*}我们使用底数b=eb = e(而不是比如说1010),因为现在我们只需要证明指数部分当nn增大时趋近于11。该表达式可以重新整理为斜率计算!nloge(1+1n)=loge(1+1n)1n n \log_e \left(1 + \frac 1 n\right) = \frac{\log_e \left(1 + \frac 1 n\right)}{\frac{1}{n}} =loge(1+1n)loge(1)(1+1n)(1) = \frac{\log_e \left(1 + \frac 1 n\right) - \log_e (1)}{\left(1 + \frac 1 n\right) - (1)} 这正是曲线y=logexy = \log_e x上点(1,0)(1, 0)与另一个非常接近的点之间直线的斜率。当nn增大时,这趋近于(1,0)(1, 0)处切线的斜率。我们只需证明该斜率为11(这也是一个自然的目标),就完成了证明。

为此,由于logex\log_e xexe^x的反函数,它们的图像关于直线y=xy = x对称。

对数是指数的反射

以下两条直线的斜率都是11

  • 根据ee的定义,通过(0,1)(0, 1)y=exy = e^x的切线;以及
  • 直线y=xy = x

因此,它们平行,形成了这样美妙的反射:

对数的导数

因此,曲线y=logexy = \log_e x(1,0)(1, 0)处的切线斜率确实为11,证明完毕!